فعالیت ریاضی دهم
۱) سال‌های برگزاری مسابقات المپیک از آغاز هزاره‌ی سوم میلادی به بعد به صورت زیر است که جملات یک دنباله‌ی حسابی را نشان می‌دهد.
$$\mathbf{۲۰۰۰, ۲۰۰۴, ۲۰۰۸, ۲۰۱۲, ۲۰۱۶, ۲۰۲۰, \dots}$$
الف) جمله‌ی اول و قدر نسبت این دنباله را مشخص کنید.
$$\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = \quad , \quad \text{d} = }$$
ب) نهمین دوره‌ی المپیک در این هزاره در چه سالی برگزار خواهد شد؟
پ) با تکمیل جدول زیر، جمله‌ی عمومی این دنباله را به دست آورید.
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ۲۰۰۰ | $۲۰۰۰ + ۱(۴)$ | $۲۰۰۰ + ۲(۴)$ | $۲۰۰۰ + ۳(۴)$ | $\dots$ | $۲۰۰۰ + (\dots)(۴)$ | $\dots$ | $\mathbf{\t}$ |
ت) بیست و چهارمین دوره‌ی المپیک در هزاره‌ی سوم میلادی در چه سالی برگزار خواهد شد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۱ ریاضی دهم
سلام! این فعالیت در مورد **دنباله‌ی حسابی** و کاربرد اون در تعیین سال‌های برگزاری المپیک است. دنباله‌ی حسابی به دنباله‌ای گفته می‌شه که اختلاف هر دو جمله‌ی متوالی آن ثابت باشه.
### الف) جمله‌ی اول و قدر نسبت
* **جمله‌ی اول ($\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$):** اولین عضو دنباله، سال $۲۰۰۰$ است.
$$\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۲۰۰۰}$$
* **قدر نسبت ($\mathbf{\text{d}}$):** اختلاف بین هر دو جمله‌ی متوالی (فاصله‌ی سال‌های برگزاری المپیک).
$$\text{d} = ۲۰۲۴ - ۲۰۲۰ = ۴$$
$$\mathbf{\text{d} = ۴}$$
---
### ب) نهمین دوره‌ی المپیک ($athbf{\text{t}_{\text{۹}}}$)
نهمین دوره‌ی المپیک در واقع **نهمین جمله‌ی دنباله** است ($athbf{\text{n}=۹}$). از فرمول کلی دنباله‌ی حسابی استفاده می‌کنیم:
$$\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$$
$$\text{t}_{\text{۹}} = ۲۰۰۰ + (۹-۱)۴$$
$$\text{t}_{\text{۹}} = ۲۰۰۰ + (۸)۴$$
$$\text{t}_{\text{۹}} = ۲۰۰۰ + ۳۲ = \mathbf{۲۰۳۲}$$
**پاسخ:** نهمین دوره‌ی المپیک در سال **۲۰۳۲** برگزار خواهد شد.
---
### پ) به دست آوردن جمله‌ی عمومی ($athbf{\text{t}_{\text{n}}}$)
با تکمیل الگو در جدول، رابطه‌ی بین شماره‌ی جمله ($\text{n}$) و ضریب $\text{d}$ را پیدا می‌کنیم:
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ۲۰۰۰ | $۲۰۰۰ + \mathbf{۱}(۴)$ | $۲۰۰۰ + \mathbf{۲}(۴)$ | $۲۰۰۰ + \mathbf{۳}(۴)$ | $\dots$ | $۲۰۰۰ + \mathbf{(\text{n}-۱)}(۴)$ |
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۲۰۰۰ + (\text{n}-۱)۴}$$
**ساده شده:**
$$\text{t}_{\text{n}} = ۲۰۰۰ + ۴\text{n} - ۴$$
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۴\text{n} + ۱۹۹۶}$$
---
### ت) بیست و چهارمین دوره ($athbf{\text{t}_{\text{۲۴}}}$)
از فرمول جمله‌ی عمومی (یا فرمول ساده شده) استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\text{n}=۲۴}$.
$$\text{t}_{\text{۲۴}} = ۲۰۰۰ + (۲۴-۱)۴$$
$$\text{t}_{\text{۲۴}} = ۲۰۰۰ + (۲۳)۴$$
$$\text{t}_{\text{۲۴}} = ۲۰۰۰ + ۹۲ = \mathbf{۲۰۹۲}$$
**پاسخ:** بیست و چهارمین دوره‌ی المپیک در سال **۲۰۹۲** برگزار خواهد شد.
فعالیت ریاضی دهم
۲) با تکمیل جدول زیر، سعی کنید ساختار کلی جمله‌ی عمومی یک دنباله‌ی حسابی را به دست آورید.
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\text{t}_{\text{۵}}$ | $\text{t}_{\text{۶}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ | $\dots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۱\text{d}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۲\text{d}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۳\text{d}$ | $ $ | $ $ | $ots$ | $\text{t}_{\text{۱}} + (\dots)\text{d}$ | $ots$ |
[Image showing the pattern of adding +d]
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۲۱ ریاضی دهم
هدف این فعالیت استخراج **فرمول کلی** (ساختار عمومی) هر **دنباله‌ی حسابی** است. ما باید رابطه‌ی بین شماره‌ی جمله ($\text{n}$) و تعداد دفعاتی که قدر نسبت ($\text{d}$) به جمله‌ی اول ($\text{t}_{\text{۱}}$) اضافه می‌شود را پیدا کنیم.
### ۱. تکمیل جدول
با دقت در ستون‌های اول تا چهارم، متوجه می‌شویم که **ضریب $\text{d}$ همواره یک واحد کمتر از شماره‌ی جمله ($\text{n}$) است.**
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۵}}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۶}}}$ | $\dots$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۱\text{d}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۲\text{d}$ | $\text{t}_{\text{۱}} + ۳\text{d}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} + ۴\text{d}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} + ۵\text{d}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{۱}} + \mathbf{(\text{n}-۱)}\text{d}$ |
### ۲. ساختار کلی جمله‌ی عمومی
با توجه به الگوهای جدول، ساختار کلی جمله‌ی عمومی $\text{t}_{\text{n}}$ برای هر دنباله‌ی حسابی به این صورت است:
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}}$$
**توضیح:** این فرمول می‌گوید برای رسیدن به جمله‌ی $\text{n}$-ام، باید از جمله‌ی اول شروع کنیم و قدر نسبت ($\text{d}$) را به اندازه‌ی $(\text{n}-۱)$ بار به آن اضافه کنیم.
